面積比は相似比の2乗

数学

全ての図形は三角形の集合として表せるため、三角形の面積比が相似比の2乗であるかを考える。

\triangle A と \triangle B がある。
ここで、 \triangle A \sim \triangle B である。

相似比を n : m としたとき、 \triangle B の底辺 b は \triangle A の底辺 a により b = a\frac{m}{n} であり
また、 \triangle A の高さを c 、 \triangle B の高さを d としたとき、 d = c\frac{m}{n} となる。

これらより、 \triangle A の面積は \frac{ac}{2} 、 \triangle B の面積は \frac{a\frac{m}{n}c\frac{m}{n}}{2} である。
ここで、面積比は \frac{ac}{2} : \frac{a\frac{m}{n}c\frac{m}{n}}{2} 。

これを整理していく。

両辺に2を掛け ac : a\frac{m}{n}c\frac{m}{n} = ac : ac\frac{m^2}{n^2}
両辺をacで割り 1 : \frac{m^2}{n^2}
両辺に n^2 を掛け n^2 : m^2

よって、相似比 n : m の図形の面積比は n^2 : m^2 である。